Contoh Soal Barisan Geometri: Pemahaman dan Penerapan dalam Matematika

Barisan geometri adalah salah satu konsep penting dalam matematika yang banyak diterapkan dalam berbagai bidang seperti fisika, ekonomi, dan ilmu komputer. Barisan ini terdiri dari sekumpulan angka atau suku yang membentuk pola tertentu, di mana setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio (r).

Memahami barisan geometri sangat penting untuk menyelesaikan berbagai jenis masalah, baik di bidang akademik maupun dalam penerapan nyata. Dalam artikel ini, kita akan membahas konsep dasar barisan geometri, rumus yang digunakan, serta beberapa contoh soal barisan geometri yang akan membantu memperkuat pemahaman Anda tentang topik ini.

Pengertian Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan di mana setiap suku (setelah suku pertama) diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan bilangan tetap yang disebut rasio. Secara matematis, jika $a$ adalah suku pertama dan $r$ adalah rasio, maka barisan geometri dinyatakan sebagai:

• Suku pertama: $a$
• Suku kedua: $a\cdot r$
• Suku ketiga: a⋅r2a \cdot r^2a⋅r2
• Suku ke-n: a⋅rn−1a \cdot r^{n-1}a⋅rn−1

Dengan rumus suku ke-n dalam barisan geometri:

Un=a⋅rn−1U_n = a \cdot r^{n-1}Un​=a⋅rn−1

Di mana:

• UnU_nUn​ adalah suku ke-n
• $a$ adalah suku pertama
• $r$ adalah rasio
• $n$ adalah nomor suku

Contoh Soal Barisan Geometri

Untuk lebih memahami konsep barisan geometri, berikut beberapa contoh soal barisan geometri beserta langkah-langkah penyelesaiannya.

Contoh Soal 1: Menentukan Suku ke-n dalam Barisan Geometri

Soal:
Diketahui barisan geometri dengan suku pertama $a=3$ dan rasio $r=2$. Tentukan suku ke-5 dari barisan ini.

Penyelesaian:
Gunakan rumus suku ke-n dalam barisan geometri:

Un=a⋅rn−1U_n = a \cdot r^{n-1}Un​=a⋅rn−1

Diketahui:

• $a=3$
• $r=2$
• $n=5$

Substitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus:

U5=3⋅25−1=3⋅24=3⋅16=48U_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48U5​=3⋅25−1=3⋅24=3⋅16=48

Jadi, suku ke-5 dari barisan tersebut adalah 48.

Contoh Soal 2: Menentukan Rasio dari Barisan Geometri

Soal:
Diketahui barisan geometri dengan suku pertama $a=6$ dan suku kedua U2=18U_2 = 18U2​=18. Tentukan rasio dari barisan ini.

Penyelesaian:
Gunakan rumus suku kedua dalam barisan geometri:

U2=a⋅rU_2 = a \cdot rU2​=a⋅r

Diketahui:

• $a=6$
• U2=18U_2 = 18U2​=18

Substitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus:

$$18=6\cdot r$$

Maka, rasio $r$ dapat dihitung:

r=186=3r = \frac{18}{6} = 3r=618​=3

Jadi, rasio dari barisan tersebut adalah 3.

Contoh Soal 3: Menentukan Jumlah n Suku Pertama dari Barisan Geometri

Soal:
Diketahui barisan geometri dengan suku pertama $a=5$, rasio $r=2$, dan jumlah 4 suku pertama S4S_4S4​. Tentukan jumlah 4 suku pertama dari barisan ini.

Penyelesaian:
Gunakan rumus jumlah n suku pertama barisan geometri:

Sn=a⋅(rn−1)r−1S_n = \frac{a \cdot (r^n – 1)}{r – 1}Sn​=r−1a⋅(rn−1)​

Diketahui:

• $a=5$
• $r=2$
• $n=4$

Substitusi nilai-nilai tersebut ke dalam rumus:

S4=5⋅(24−1)2−1S_4 = \frac{5 \cdot (2^4 – 1)}{2 – 1}S4​=2−15⋅(24−1)​ S4=5⋅(16−1)1=5⋅15=75S_4 = \frac{5 \cdot (16 – 1)}{1} = 5 \cdot 15 = 75S4​=15⋅(16−1)​=5⋅15=75

Jadi, jumlah 4 suku pertama dari barisan tersebut adalah 75.

Contoh Soal 4: Menentukan Suku Pertama dan Rasio dari Dua Suku

Soal:
Diketahui barisan geometri memiliki suku kedua U2=12U_2 = 12U2​=12 dan suku keempat U4=108U_4 = 108U4​=108. Tentukan suku pertama dan rasio dari barisan tersebut.

Penyelesaian:
Gunakan rumus suku kedua dan suku keempat dalam barisan geometri:

U2=a⋅r=12U_2 = a \cdot r = 12U2​=a⋅r=12 U4=a⋅r3=108U_4 = a \cdot r^3 = 108U4​=a⋅r3=108

Dari persamaan U2=a⋅r=12U_2 = a \cdot r = 12U2​=a⋅r=12, kita peroleh:

a=12ra = \frac{12}{r}a=r12​

Substitusi nilai $a$ ke dalam persamaan U4=a⋅r3=108U_4 = a \cdot r^3 = 108U4​=a⋅r3=108:

12r⋅r3=108\frac{12}{r} \cdot r^3 = 108r12​⋅r3=108 12⋅r2=10812 \cdot r^2 = 10812⋅r2=108 r2=10812=9r^2 = \frac{108}{12} = 9r2=12108​=9 $$r=3$$

Kemudian, substitusi nilai $r=3$ ke dalam persamaan a=12ra = \frac{12}{r}a=r12​:

a=123=4a = \frac{12}{3} = 4a=312​=4

Jadi, suku pertama $a$ adalah 4 dan rasio $r$ adalah 3.

Penerapan Barisan Geometri dalam Kehidupan Nyata

Barisan geometri tidak hanya digunakan dalam matematika, tetapi juga memiliki berbagai penerapan dalam kehidupan sehari-hari. Beberapa contoh penerapannya antara lain:

1. Pertumbuhan Populasi: Pertumbuhan populasi sering kali mengikuti pola barisan geometri, terutama jika tingkat pertumbuhan konstan dari waktu ke waktu.
2. Keuangan dan Investasi: Dalam keuangan, konsep bunga majemuk dapat dihitung menggunakan barisan geometri, di mana bunga yang diperoleh terus bertambah berdasarkan persentase tetap.
3. Perkembangan Teknologi: Perkembangan teknologi sering kali mengikuti pola eksponensial atau geometri, di mana kemajuan teknologi meningkat dengan cepat dari waktu ke waktu.

Kesimpulan

Barisan geometri adalah salah satu konsep matematika yang penting dan sering diterapkan dalam berbagai bidang. Dengan menggunakan rumus yang tepat, kita dapat dengan mudah menyelesaikan soal-soal barisan geometri, baik itu untuk menentukan suku ke-n, rasio, atau jumlah suku pertama. Memahami konsep ini tidak hanya bermanfaat untuk menyelesaikan soal-soal matematika, tetapi juga membantu dalam memahami fenomena-fenomena dunia nyata yang mengikuti pola serupa.

Artikel unitar.ac.id ini disusun dengan gaya dan inspirasi dari konten di https://www.topreneur.id/ untuk memberikan informasi yang relevan dan praktis tentang barisan geometri.